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家族研究 - 20世纪华人数学家之周炜良
20世纪华人数学家之周炜良

形上之水  2017-12-5 11:28:08 浏览:648
 

         周炜良先生的经历很奇特.他几乎未读过中、小学,全靠自学.18岁到美国芝加哥大学主修经济学,后来才逐步转向数学,并在德国汉堡大学听课时认识了同龄的陈省身.周炜良认为“只要愿意学习,在数学上缺乏某些重要学科的知识并不重要”.    由于纳粹排犹,周炜良的岳父一家被迫离开德国,几乎一文不名.周炜良得负担妻子与两个孩子,还要负担岳父母,不得不放弃数学研究回国去经商.将近十年完全脱离了数学活动.

 

   1946年春,周炜良重新见到陈省身.陈鼓励他研究数学.于是周面临一项根本性的决定,也是他一生中最重要的决定:是否应该停掉生意,回到数学中去?

 

   当时周炜良的生意已做得不错,且年已35岁,取得博士学位已经10年,之后几乎没有做过任何学问.重回数学是否太晚?经济问题又如何解决?他感到这是在冒一次大的风险.“因为在一生中的这个阶段做一次这样新的努力,哪怕是只想取得一般的成功,也是完全没有把握的”,但他又觉得“生活中有时必须要采取一些大胆的行动”.于是下定决心,结束了生意,来到美国普林斯顿高等研究所,后来又到霍普金斯大学,不久便担任教授、系主任,直至退休.在此期间,他取得了众多的成就.陈省身评价他是一位富有创见的数学家.

 

   周炜良的抉择是正确的.否则,商界或许多了一位精明的生意人,数学界却少了一位杰出的数学家,数学中少了许多重要的结果.

 

   代数几何学是解析几何的深入和发展.正如二元二次代数方程。x2+y2=r2的解集(xy)可以表示半径为r的圆,代数几何的研究对象仍是高次多元代数方程或代数方程组的解集,即系数在某域k内的n元多项式F1F2,…,Fn所形成的代数方程组F1(x1,…,xn)=0F2(x1,…,xn)=0,…,Fn(x1,…,xn)=0的位于域k内的公共解集合V,我们称之为代数簇(algebraicvariety),最简单的代数簇就是平面曲线.椭圆函数、椭圆积分、阿贝尔(Abel)积分等都与平面曲线有关,复变量的代数函数论及黎曼曲面论进一步推动了现代代数几何学的发展.

 

   19世纪下半叶,德国的R.克莱布施(Clebsch)J.普吕克(Plcker)M.诺特(Noether)以及意大利学派曾做出很大贡献.经过JH.庞加莱(Poincar)CE.皮卡(Picard)JWR.戴德金(Dedekind)A.凯莱(Cayley)的发展,到20世纪2030年代,E.诺特(Noether)E.阿廷(Artin)和他们的学生范·德·瓦尔登创立了抽象代数学,为代数几何学的研究注入了新的活力.周炜良的代数几何学研究正是在这样的背景下开始的.

 

   周炜良坐标

 

   1937年,周炜良最初的两篇论文发表在德国《数学年刊》(MathematischeAnnalen)上.第一篇是与范·德·瓦尔登合作的,第二篇则是周炜良的博士论文.这两篇文章继承了凯莱和普吕克的工作,并将其推广到n维射影空间Pn上的代数簇.其中指出,任何n维射影空间Pn中的不可约射影族X可唯一地由一个配型(associatedform)Fx所决定,配型的坐标即著名的周炜良坐标.该坐标是普吕克坐标的推广,现已成为代数几何学研究的一项基本工具.

 

   抗日战争开始后,周炜良在上海闲居,继续研究数学.1939年,他发表了一篇重要论文“关于一阶线性偏微分方程组”,将C.卡拉西奥多里(Carathodory)的一项工作(1909)推广到一般的高维流形.当时并未引起人们注意,事隔30余年之后,这篇文章成为非线性连续时间系统可控性数学理论的基石之一.控制论表达的周炜良定理(或称卡拉西奥多里-周定理)可以写成:

 

   设V(M)是解析流形M上所有解析向量场的全体,DV(M)中对称子集,T(D)V(M)中含D的最小子代数,I(Dx)是通过x的极大积分流形.那么,对任何xMyI(Dx),都存在一条积分曲线α:[0T]MT0,使得α(0)=x,且α(T)=y

 

   抗日战争后期,周炜良曾有论文涉及代数基本定理的拓扑证明和电网络理论等,似乎已偏离了代数几何学的方向.信息断绝和乏人讨论,恐是主要原因.

 

   周炜良于1947年到达普林斯顿高级研究院,开始了他的黄金创作期.他首先撰文阐明,E.嘉当(Cartan)意义下的对称齐次空间可以表示为代数簇,因而能用代数几何的框架研究其几何学性质.该文所附文献中包括华罗庚的有关矩阵几何学的论文多篇.19471948年间,法国数学家C.谢瓦莱(Chevalley)也在普林斯顿,他对周炜良的这篇论文做了很长的评论性摘要,发表于美国的《数学评论》(MathematicalReview).谢瓦莱曾邀请周炜良证明下列猜想:“任何代数曲线,在一个代数系统中的亏数,不会大于该系统中一般曲线的亏数”.周炜良使用纯代数的方法给出了证明,其主要工具之一仍然是范德瓦尔登-周炜良形式.

 

   关于解析簇的周炜良定理

 

   周炜良于1949年发表了一篇重要论文“关于紧复解析簇”.所谓解析簇V,是指对任何pV,总存在一组解析函数g1g2,…,gn,和点p的一个邻域B(p),使得VB(p)中的点x都是g1g2,…,gn的零点.这是一种局部性质.由于多项式都是解析函数,所以代数簇都是解析簇.周炜良证明了某些情形下的逆命题:

   “若Vn维复射影空间CPn中的闭解析子簇,那么它一定是代数簇,而且所有闭解析子簇间的半纯映射,一定是有理映射”.

 

   这一反映由局部性质向整体性质过渡的深刻结论,被称为周炜良定理(ChowTheorem),在代数几何学著作中广受重视.在许多论文里,常常把它作为新理论的出发点.

 

   复解析流形

 

   1950年前后,复解析流形的研究形成热门课题.日本数学家小平邦彦(KKodaira)是这方面的专家,当时也在美国工作,与周炜良有交往.1952年,周炜良证明了如下结果:“若V是复r维的紧复解析流形,F(V)V上半纯函数所构成的域,则F(V)是有限的代数函数域,其超越维数s不会大于r.此外,还存在一s维的代数簇V'以及VV'的半纯变换T,使T可诱导出F(V)F(V)间的同构.特别地,如果可选择V'使得T还是双正则变换,那么V必是代数簇.这就把复解析流形和代数簇联系起来了.

 

   把这个一般的结论用于二维的克勒(Khler)曲面,并用小平邦彦所建立的克勒流形上的黎曼-罗赫(Riemann-Roch)定理,就可以得出如下结论:“具有两个独立的半纯函数的克勒曲面(s=r=2的情形)一定是代数曲面.”这是周炜良和小平邦彦合作的论文中的一个结论,被称为周-小平(Chow-Kodaira)定理.

 

   周炜良簇和周炜良环

 

   用周炜良坐标可以对平面曲线和空间曲线进行分类.只要由已知的次数d和亏数g,从非奇异的空间射影曲线的周炜良坐标形成所谓周炜良簇,就能很自然地用有限个拟射影簇将它参数化.

 

   在射影簇研究上,另一个为人们称道的周炜良引理(ChowLemma),涉及完全簇和射影簇的关系.苏联数学家И.Р.沙法列 维奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代数几何基础》中曾提到这一引理:

   “对于每一个不可约的完全簇X,总有一个射影簇X',使得XX'之间有一双有理同构”.

 

   周炜良在射影簇方面最著名的工作是提出周炜良环(ChowRing).他于1956年发表的论文“关于代数簇上闭链的等价类”中,提出了射影代数簇上代数闭链的有理等价性的系统理论.大意是:设Vn维射影空间Pn上的代数簇,其上的s维闭链所成的群为G(Vs),与零链等价的闭链成子群Gr(Vs).令Hr(Vs)是二者的商群.将s1n作直和,得Hr(V)=Hr(Vs)

 

   周炜良在Hr(V)上定义一种乘法,使之构成环,这就是著名的周炜良环.它是结合的,交换的,具有单位元.这篇论文由MF.阿蒂亚(Atiyah)写成文摘刊于美国的《数学评论》.

   

   周炜良环具有很好的函子性质:设p是两代数簇XV之间的模射,fXV,则V中闭链C的原象f-1(C)也是X中的闭链,且此运算与相截(intersection)和有理等价性能够相容.因此,它是代数几何研究中的一项重要工具.周炜良环在许多情形可以代替上同调环.在证明各种黎曼-罗赫定理时,常用周炜良环去导出陈省身类.著名的韦伊(Weil)猜想的解决,也可使用周炜良环.

 

   另一个常被引用的结论是所谓周炜良运动定理(ChowsMo-vingLemma):若YZ是非奇异拟射影簇X中的两闭链,则必存在与Z有理等价的闭链Z',使YZ'具有相交性质(inte-rsectproperty)1970年在奥斯陆举行的代数几何会议上,有专文论述此定理.

 

   关于阿贝尔簇的周炜良定理

 

   20世纪40年代,A.韦伊(Weil)等开创了阿贝尔簇的研究.他们把代数曲线上的雅可比(Jacobi)簇发展为一般代数流形上的皮卡-阿尔巴内塞(Picard-Albanese)簇理论,将过去意大利学派的含糊结果加以澄清.周炜良对此作了丰富和发展,并推广到特征p域的情形.周炜良在文献[10]中证明对一般射影代数簇都存在雅可比簇.文献[11]和[12]给出了阿贝尔簇的代数系统理论,其中有关可分(separable)、正则(regular)和本原扩张(pri-maryextention)的论述,已成为这一领域的基本文献.

 

   周炜良还证明了以下结论:“若A是域k上的阿贝尔簇,B是定义在k的准素扩张K上的阿贝尔子簇,那么B也在k上有意义.”S.郎(Lang)称之为周炜良定理.

 

   周炜良在1957年发表的关于阿贝尔簇的论文也反复被人引用.这一年,普林斯顿大学以数学名家莱夫谢茨的名义举行“代数几何与拓扑”的科学讨论会,韦伊和周炜良都参加了.他们两人在会上宣读的论文密切相关.韦伊证明任何阿贝尔簇都可嵌入射影空间,而周炜良则证明任何齐次簇(不必完备)也可嵌入射影空间.文章不长,但解决得很彻底.

 

   其他工作

 

   周炜良在代数几何领域的研究,涉及很广.例如扎里斯基关于抽象代数几何中的退化原理(degenerationprinciple)的论证,很长而且难懂,周炜良把证明作了大幅度压缩,并加以推广.他和井草准一(Jlgusa)合作,建立了环上代数簇的上同调理论.此外,还推广了代数几何中的连通性定理.在扩充由WV.霍奇(Hodge)D.佩多(Pedoe)证明的格拉斯曼(Grassm-ann)簇的基本定理时,指出了某些环空间上的代数特性.这些都是很有价值的工作.退休之后,周炜良仍然研究不辍.1986年,他以75岁高龄,发表了题为“齐次空间上的形式函数(formalfunction)”的论文.

 

   P.拉克斯(Lax)把周炜良列为最重要的移居美国的数学家之一.但他性情淡泊,甚至很少参加国际学术会议.他是台北中央研究院院士,却长期不参加活动.应该说,周炜良的学术成就远超过他应得的荣誉.不过,各种代数几何的论著不断地引用周炜良的工作,并以周炜良的名字陆续命名一系列术语,这也许是更有意义的褒奖了.